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将棋の数学的定義:勝敗

定義「勝者」勝者集合Winnerを次のように定義します。
Winner=Turn ∪{なし,未決,ダミー}={先手,後手,なし,未決,ダミー}
勝者がなしは引き分け、未決はまだ決着がついていない状態、ダミーは実際には存在しない状態です。
この定義のもと、まず「局面の勝者」を帰納的に定義します。
「局面の勝者」は、厳密には局面に対して勝者を割り当てるわけではなく、「対局のi番目」に対して割り当てます。
定義 定義 局面の勝者
写像winner:Game×ℕ→Winnerを次のように定義します。
g∈Gameとi∈ℕに対して、gの長さをn、g(i)の手番をtとおきます。
<dl>
<dt>(1)</dt>
<dd>i>nのとき
winner(g,i):=ダミーと決めます。
</dd>
<dt>(2)</dt>
<dd>i≦nのとき
<dl>
<dt>(2-1)</dt>
<dd>i>1かつwinner(g,i-1)≠未決のとき
winner(g,i):=winner(g,i-1)と決めます。
</dd>
<dt>(2-2)</dt>
<dd>i=1またはwinner(g,i-1)=未決のとき
<dl>
<dt>(2-2-1)</dt>
<dd>gのi番目で千日手が成立しているとき
<dl>
<dt>(2-2-1-1)</dt>
<dd>gのi番目が狭義の詰みまたは狭義の禁止局面であるとき
winner(g,i):=ダミーと決めます。
</dd>
<dt>(2-2-1-2)</dt>
<dd>gのi番目が狭義の詰みでも狭義の禁止局面でもないとき
<dl>
<dt>(2-2-1-2-1)</dt>
<dd>広義の詰みのとき
winner(g,i):=ダミーと決めます。
</dd>
<dt>(2-2-1-2-2)</dt>
<dd>広義の詰みでないとき
<dl>
<dt>(2-2-1-2-2-1)</dt>
<dd>広義の禁止局面のとき
winner(g,i):=tと決めます。
</dd>
<dt>(2-2-1-2-2-2)</dt>
<dd>広義の禁止局面でないとき
<dl>
<dt>(2-2-1-2-2-2-1)</dt>
<dd>どちら側の連続王手でもないとき
winnger(g,i):=なしと決めます。
</dd>
<dt>(2-2-1-2-2-2-2)</dt>
<dd>t側の連続王手で-t側の連続王手でないとき
winner(g,i):=-tと決めます。
</dd>
<dt>(2-2-1-2-2-2-3)</dt>
<dd>-t側の連続王手でt側の連続王手でないとき
winner(g,i):=ダミーと決めます。
</dd>
<dt>(2-2-1-2-2-2-4)</dt>
<dd>どちら側も連続王手のとき
winner(g,i):=ダミーと決めます。
</dd>
</dl>
</dd>
</dl>
</dd>
</dl>
</dd>
</dl>
</dd>
<dt>(2-2-2)</dt>
<dd>「gのi番目で千日手が成立」していないとき
<dl>
<dt>(2-2-2-1)</dt>
<dd>gのi番目が禁止局面でないとき
<dl>
<dt>(2-2-2-1-1)</dt>
<dd>gのi番目が詰みのとき
winnger(g,i):=-tと決めます。
</dd>
<dt>(2-2-2-1-2)</dt>
<dd>gのi番目が詰みでないとき
winnger(g,i):=未決と決めます。
</dd>
</dl>
</dd>
<dt>(2-2-2-2)</dt>
<dd>gのi番目が禁止局面のとき
(gのi番目が詰みかどうかに関わらず)winner(g,i):=tと決めます。
</dd>
</dl>
</dd>
</dl>
</dd>
</dl>
</dd>
</dl>
i≠1ならi番目の勝者はi-1番目の勝者にのみ依存し、1番目の勝者は再帰によらず決まるので、これはwell-definedです。
この定義を使って対局の勝者を定義します。
両方共同じwinnerという名前を使いますが、別の写像であることに注意してください。
定義「対局の勝者」 写像winner:Game→Winnerを次のように定義します。
g∈Gameに対して、gの長さをnとおきます。
winner(g):=winner(g,n)と決めます。